GPT-6 Astra บรรลุความก้าวหน้าครั้งสำคัญในข้อสันนิษฐานของโกลด์บาค!

GPT-6 Astra ใช้เวลาเพียงสองวันกับเอกสารสองหน้าในการบรรลุสิ่งที่คาใจมนุษย์มาเกือบ 300 ปี—การพิสูจน์แบบไม่มีเงื่อนไขของเวอร์ชันอ่อนของข้อสันนิษฐานของโกลด์บาคสำหรับฟังก์ชัน Liouville ครอบคลุมจำนวนคู่ทั้งหมด และผ่านการตรวจสอบเชิงรูปนัยด้วย Lean 4 โดยไม่มีช่องโหว่ สิ่งที่น่าทึ่งยิ่งกว่าคือมันไม่ได้อาศัยพลังการคำนวณมหาศาล แต่ใช้ตรรกะที่งดงามจนนักคณิตศาสตร์ต้องทึ่ง

ความก้าวหน้าครั้งสำคัญในวงการคณิตศาสตร์!

เมื่อไม่นานมานี้ GPT-6 Astra ได้สร้างความก้าวหน้าใหม่ในข้อสันนิษฐานของโกลด์บาคอีกครั้ง

ผู้ใช้ชื่อ Captain Sude ประกาศว่า Astra ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานแบบโกลด์บาคเกี่ยวกับฟังก์ชัน Liouville!

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันพิสูจน์รูปแบบอย่างอ่อนของ Liouville สำหรับข้อสันนิษฐานของโกลด์บาคโดยไม่มีเงื่อนไข

ที่น่าทึ่งยิ่งกว่าคือ ต่างจากที่เราคิด ครั้งนี้ Astra ไม่ได้อาศัยเพียงพลังการคำนวณมหาศาล—มันใช้การให้เหตุผลที่งดงามมาก

และตอนนี้การพิสูจน์นี้ได้ผ่านการตรวจสอบเชิงรูปนัยด้วย Lean 4 แล้ว

ไข่มุกที่ไม่มีใครเด็ดได้

ก่อนหน้านี้ ข้อสันนิษฐานของโกลด์บาคได้ทรมานนักคณิตศาสตร์มาเกือบสามศตวรรษ

ในปี 1742 โกลด์บาคเสนอข้อสันนิษฐานนี้ในจดหมายถึงออยเลอร์: "จำนวนคู่ใด ๆ ที่มากกว่า 2 สามารถเขียนเป็นผลบวกของจำนวนเฉพาะสองจำนวนได้"

เพื่อสิ่งนี้ หลายคนทุ่มเททั้งชีวิต ตั้งแต่ฮาร์ดี ลิตเทิลวูด ไปจนถึงเฉิน จิ่งรุ้นที่พิสูจน์ "1+2" มนุษยชาติก็ยังไม่สามารถเด็ดไข่มุกบนมงกุฎ—"1+1" ได้

นั่นเป็นเพราะการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะนั้นแปลกประหลาดเหลือเกิน!

เมื่อการพยายามโดยตรงไม่ได้ผล นักคณิตศาสตร์จึงคิดนอกกรอบ สร้าง "ตัวแทน"—ข้อสันนิษฐานของโกลด์บาคเวอร์ชัน Liouville

เพื่อจำลองจำนวนเฉพาะ นักคณิตศาสตร์ได้แนะนำเครื่องมือที่ยอดเยี่ยม: ฟังก์ชันลีอูวีล

ฟังก์ชันนี้เขียนแทนด้วย โดยที่แทนจำนวนตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของจำนวนหนึ่ง

กฎของมันเหมือนสวิตช์ที่พิจารณาเฉพาะ "จำนวนคู่หรือคี่": ถ้าจำนวนหนึ่งมีจำนวนตัวประกอบเฉพาะเป็นจำนวนคู่ แล้ว λ(n)=1

ถ้ามีจำนวนตัวประกอบเฉพาะเป็นจำนวนคี่ แล้ว λ(n)=-1

จำนวนเฉพาะแท้ทั้งหมด (เช่น 2, 3, 5, 7, 11) มีค่าฟังก์ชันลีอูวีลเป็น -1 แน่นอน! อย่างไรก็ตาม การกลับกันไม่จริง เช่น 8 และ 12 ก็มีค่า λ เป็น -1 เช่นกัน

ในปี 2018 บนฟอรัมคณิตศาสตร์ชื่อดัง MathOverflow มีคนเสนอข้อสันนิษฐานโกลด์บาคแบบอย่างอ่อน:

สำหรับจำนวนคู่ N ที่มากกว่า 2 ทุกจำนวน จะสามารถหาจำนวนเต็มบวก a และ b ได้เสมอหรือไม่ โดยที่ N=a+b และ λ(a)=λ(b)=−1

ถ้าข้อสันนิษฐานโกลด์บาคแบบดั้งเดิมเป็นจริง แล้วจำนวนเฉพาะสองจำนวนนั้นต้องมีค่า Liouville เป็น -1 ทั้งคู่ ดังนั้น "ข้อสันนิษฐาน Liouville" นี้ก็ต้องเป็นจริงแน่นอน

แต่ตอนนี้ นักคณิตศาสตร์ได้ผ่อนคลายเงื่อนไข: ตัวบวกไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะแท้ ขอแค่มีจำนวนตัวประกอบเฉพาะเป็นจำนวนคี่ก็พอ!

การฝ่าวงล้อมภายใต้เงาของรีมันน์: AI ให้เอกสารสองหน้าที่น่าทึ่ง

เมื่อผ่อนคลายเงื่อนไขแล้ว ก็น่าจะพิสูจน์ได้ง่ายใช่ไหม? ปรากฏว่ามันยังยากอย่างเหลือเชื่อ!

แก่นของปัญหาอยู่ที่นักคณิตศาสตร์ต้องการศึกษาว่าเครื่องหมายบวกลบที่สลับกันนี้ภายใต้การบวก จะหักล้างกันเหมือนการโยนเหรียญหรือไม่ เพื่อเผยให้เห็นระเบียบลึกที่ซ่อนอยู่ภายใต้การบวก นี่เกี่ยวข้องกับการเชื่อมโยง "บล็อกการคูณ" กับ "การบวกเชิงการจัด" ในคณิตศาสตร์

จนกระทั่งปี 2024 นักคณิตศาสตร์ Alexander P. Mangerel ก็มีความก้าวหน้า ในบทความหนึ่ง เขาพิสูจน์ว่า: สำหรับจำนวนคู่ที่มากพอทั้งหมด ข้อสันนิษฐานนี้เป็นจริง

ลิงก์: https://arxiv.org/abs/2404.12117

แต่! การพิสูจน์ของเขามีข้อจำกัดสองประการ

1. "มากพอ": หมายความว่ามันไม่รวมจำนวนคู่ที่ค่อนข้างเล็ก

2. "GRH": การพิสูจน์ของเขาพึ่งพาข้อสันนิษฐานรีมันน์แบบทั่วไปอย่างมาก นั่นคือ ข้อสรุปของเขาจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อสันนิษฐานรีมันน์แบบทั่วไปเป็นจริง

และครั้งนี้ Astra และทีมของ Captain Sude ได้ทำลายข้อจำกัดทั้งสองนี้โดยตรง!

ในตอนแรก Astra ส่ง PDF ที่มีเพียง 2 หน้าออกมา

ในบทความที่กระชับนี้ Astra ประกาศว่า—

ไม่จำเป็นต้องใช้ข้อสันนิษฐานรีมันน์แบบทั่วไป สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่มีเงื่อนไขว่า: จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่หารด้วย 4 ลงตัว สามารถเขียนเป็นผลบวกของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่มีค่า Liouville เป็น -1 ได้!

ใน PDF นั้น Astra ใช้ "ขอบเขตสหสัมพันธ์แบบไม่มีเงื่อนไข" จากบทความของ Mangerel อย่างชาญฉลาด ผสมผสานกับวิธีการลดระดับที่ประณีตอย่างยิ่ง

ตรรกะหลักของทฤษฎีบทคือการใช้การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง: สมมติว่ามีจำนวนคี่ m (ที่หารด้วย 3 ไม่ลงตัว) และที่ขนาด 4m นี้ ไม่มีคู่ของจำนวนใดที่รวมกันได้ 4m และมีค่า Liouville เป็น -1 ทั้งคู่

จากนั้น Astra ก็เริ่มบีบบังคับทีละขั้น

1. เนื่องจากการคูณด้วย 4 ไม่เปลี่ยนค่า Liouville ดังนั้น m เองก็ไม่สามารถแยกเป็นจำนวนสองจำนวนที่มีเครื่องหมายลบได้

2. เนื่องจากการคูณด้วย 2 จะพลิกค่า Liouville (เพิ่มตัวประกอบเฉพาะ 2 หนึ่งตัว) ดังนั้น 2m จึงไม่สามารถแยกเป็นจำนวนสองจำนวนที่มีเครื่องหมายบวกได้

3. จากนั้น AI สร้างกรณี a+b=m และ λ(a)=λ(b)=1 ขึ้นมา และเลือกคู่ที่มีผลต่าง b−a น้อยที่สุด ใช้ความสัมพันธ์การหารด้วย 3 ลงตัว บังคับให้เกิดข้อขัดแย้ง!

มันค้นพบว่า ถ้าคุณสมมติว่า 4m ไม่มีการแยกเช่นนั้น แล้วผ่านการประมาณสลับระหว่างการคูณและการบวก ในที่สุดจะบังคับให้จำนวนทั้งหมดในบริเวณนั้นมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ซึ่งขัดแย้งโดยตรงกับขอบเขตที่ Mangerel พิสูจน์ไว้ก่อนหน้านี้

เพียงเท่านี้ ด้วยการอนุมานพีชคณิตเบื้องต้น (แม้แต่นักเรียนมัธยมก็เข้าใจกระบวนการได้) Astra ก็ค้นพบกรณีที่เป็นจริงโดยไม่มีเงื่อนไข

48 ชั่วโมง ยุติโดเมนจำนวนคู่ทั้งหมดอย่างสมบูรณ์

และยังไม่จบแค่นั้น

ตามที่ผู้เขียนโครงการ Captain Sude เปิดเผย หลังจาก Astra พิสูจน์กรณี "พหุคูณของ 4" ในวันแรก วันต่อมา มันก็พบเส้นทางการพิสูจน์เบื้องต้นแบบใหม่ทั้งหมด และขยายผลไปยังจำนวนคู่ทั้งหมดที่มากกว่า 2 ได้โดยตรง!

ครั้งนี้ มันให้ข้อเสนอหลักนี้:

โดยไม่มีข้อจำกัด "มากพอ" ใด ๆ ไม่มีเซตข้อยกเว้นจำกัด จำนวนคู่ทั้งหมด เป็นจริงโดยไม่มีเงื่อนไข!

และแนวคิดการพิสูจน์ของมันยิ่งทำให้คนทึ่ง

มันไม่ได้ใช้การค้นหาแบบถึก และไม่ได้อาศัยการบีบอัดการประมาณเชิงวิเคราะห์เดิมให้แน่นขึ้น แต่เล่นกล "การแปลงโครงสร้าง" ที่สวยงาม

ห่วงโซ่ตรรกะของ AI เป็นดังนี้

ขั้นตอนที่หนึ่ง: หาแพะรับบาป AI พิสูจน์ก่อนว่า สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่มากกว่า 3 ทุกจำนวน จะมีจำนวนเต็มบวก u, v ที่ทำให้ 2p=u+v และค่า Liouville ของทั้งคู่เป็น 1 ถ้าไม่เป็นจริงจะเกิดอะไรขึ้น? นี่คือ "การขาดหายของรูปแบบเครื่องหมายการบวก"

ขั้นตอนที่สอง: บังคับให้เผยตัว ขยายฟังก์ชัน Liouville ไปยังฟิลด์จำกัด Fp แล้วนิยามฟังก์ชัน G เนื่องจาก "การแยกการบวกไม่มีอยู่จริง" ฟังก์ชัน G นี้จึงถูกบังคับให้มีข้อบกพร่องสมมาตรการคูณ (Defects) ในระดับท้องถิ่น

ขั้นตอนที่สาม: กฎการสลับที่สมบูรณ์แบบ นี่คือจุดที่งดงามที่สุดในการพิสูจน์! เพราะการคูณด้วย -2 แล้วคูณด้วย -3 เหมือนกับการคูณด้วย -3 แล้วคูณด้วย -2 AI ใช้สมบัติ "สลับที่" นี้ ทำให้สองเส้นทางหักล้างกัน และในที่สุดก็กำจัดข้อบกพร่องที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด!

ขั้นตอนที่สี่: แพร่กระจายสู่ทั่วโลก ใช้บทตั้งการลดระดับ แพร่กฎการคูณที่จริงในระดับท้องถิ่นเหมือนไวรัสไปทั่วฟิลด์จำกัด บังคับให้ฟังก์ชัน G กลายเป็นวัตถุการคูณที่เข้มงวดทั่วโลก

ขั้นตอนที่ห้า: การโจมตีครั้งสุดท้าย (ส่วนตกค้างกำลังสองสร้างข้อขัดแย้ง) เมื่อ G กลายเป็นฟังก์ชันการคูณที่เข้มงวด แล้วกำลังสองของจำนวนใด ๆ ต้องมีค่า G เป็น 1 อย่างไรก็ตาม ตามกฎส่วนกลับกำลังสอง สามารถหาจำนวนเฉพาะ ℓ ในฟิลด์จำกัดได้ ซึ่งมันเป็น "จำนวนกำลังสอง" แต่เพราะมันเป็นจำนวนเฉพาะ ค่า Liouville ของมันเองต้องเป็น -1

ดังนั้น 1 = -1 ข้อขัดแย้งระเบิด!

ถึงตอนนี้ ข้อสมมติ "การแยกไม่มีอยู่จริง" ในตอนแรกถูกทำลายอย่างสิ้นเชิง ข้อสันนิษฐาน Liouville–Goldbach เป็นจริงโดยไม่มีเงื่อนไขในโดเมนจำนวนคู่ทั้งหมด!

เส้นทางการพิสูจน์ที่เปลี่ยนอุปสรรคการบวกให้เป็นความแข็งแกร่งของการคูณนี้ ช่างงดงามเหลือเกิน สะท้อนถึงความคิดระดับสูงที่เป็นนามธรรมและมีสัญชาตญาณ

ผ่านการตรวจสอบเชิงรูปนัยด้วย Lean 4 แล้ว

ครั้งนี้ Astra ยังส่งการตรวจสอบเชิงรูปนัย Lean 4 ฉบับสมบูรณ์มาพร้อมกันด้วย

การผ่านการตรวจสอบ Lean 4 หมายความว่าตรรกะถูกต้องอย่างแน่นอน

ผู้ใช้ Zhihu @SUNNY99 ได้ทำการตรวจสอบอิสระทันทีกับเวอร์ชัน v1.0.0 ที่ Astra เปิดเผย ผลลัพธ์น่าทึ่ง: การพิสูจน์ Lean สามารถคอมไพล์ใหม่ได้อย่างสมบูรณ์!

โดยทฤษฎีบทสุดท้ายสอดคล้องกับข้อเสนอในบทความทุกประการ ไม่มี "sorry" ใด ๆ ในโค้ด (ใน Lean หมายถึงหลุมที่ยังไม่ได้เติม) ไม่มีสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นเองอย่างมั่วซั่ว การพึ่งพาสัจพจน์ทั้งหมดเป็นปกติอย่างสมบูรณ์ และการทดสอบเชิงตัวเลขกับจำนวนคู่ 249 จำนวนผ่านทั้งหมด

เมื่อเห็นตรงนี้ บางคนอาจถามว่า: นี่หมายความว่าข้อสันนิษฐานของโกลด์บาคถูกแก้ได้อย่างสมบูรณ์แล้วหรือ?

เราต้องพูดอย่างเคร่งครัดว่า: ยังไม่ใช่

สิ่งที่แก้ได้ในตอนนี้คือเวอร์ชันอ่อนของ Liouville สำหรับข้อสันนิษฐานของโกลด์บาค

จากการก้าวจาก "จำนวนประกอบที่มีจำนวนตัวประกอบเฉพาะเป็นจำนวนคี่" ไปสู่ "จำนวนเฉพาะแท้" ยังคงมีช่องว่างขนาดมหึมา ข้อสันนิษฐานโกลด์บาคแบบดั้งเดิมยังคงเป็นผลไม้ที่ห้อยอยู่สูง

แต่ไม่ได้หมายความว่าความก้าวหน้าครั้งนี้ไม่ยิ่งใหญ่

ประการแรก ในเชิงคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ มันสร้างสะพานอันยิ่งใหญ่ที่เชื่อม "ก้อนอิฐการคูณ" กับ "การบวกเชิงการจัด" ให้กับทฤษฎีจำนวนทั้งหมด

นี่อาจเป็นกุญแจสำคัญในการพิชิตข้อสันนิษฐานโกลด์บาคดั้งเดิมในอนาคต

ประการที่สอง ในเชิง AI นี่คือช่วงเวลาจุดเอกฐานทางประวัติศาสตร์

ตลอดมา เราคิดว่า AI เก่งเรื่องการจำจำนวนมหาศาลและการคำนวณแบบถึก เช่น การเล่นหมากล้อม การคำนวณการพับโปรตีน แต่ครั้งนี้ Astra แสดงให้เห็นถึงสัญชาตญาณและรสนิยมทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่ง

มันเหมือนนักคณิตศาสตร์ที่มีพรสวรรค์อย่างยิ่ง เขียนบทพิสูจน์ที่นักคณิตศาสตร์มนุษย์เรียกว่างดงาม