GPT-6 Astra совершил прорыв в задаче Гольдбаха!

GPT-6 Astra за два дня, уместив доказательство на двух страницах, совершил подвиг, над которым человечество билось почти 300 лет, — безусловно доказал ослабленную версию гипотезы Гольдбаха для функции Лиувилля, полностью покрыв все чётные числа, и доказательство уже прошло формальную верификацию в Lean 4 без единой ошибки. Ещё более впечатляет то, что успех достигнут не за счёт грубой вычислительной силы, а благодаря элегантной логике, которой восхищаются даже математики.

Крупный прорыв в математике!

Совсем недавно GPT-6 Astra снова добился прогресса в задаче Гольдбаха.

Пользователь Captain Sude объявил: Astra успешно доказал аналог гипотезы Гольдбаха для функции Лиувилля!

В частности, он безусловно доказал слабую форму гипотезы Гольдбаха для функции Лиувилля.

Ещё более удивительно, что, вопреки нашим ожиданиям, на этот раз Astra не просто победил грубой вычислительной силой — он провёл очень элегантное логическое рассуждение.

Более того, это доказательство уже прошло формальную верификацию в Lean 4.

Недосягаемая жемчужина

До этого гипотеза Гольдбаха, словно призрак, мучила математиков почти три столетия.

В 1742 году Гольдбах в письме Эйлеру выдвинул эту гипотезу: «Любое чётное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел».

Ради неё бесчисленные умы потратили все силы. От Харди и Литтлвуда до Чэнь Цзинжуня, доказавшего «1+2», человечество так и не смогло заполучить жемчужину короны — «1+1».

Всё потому, что распределение простых чисел слишком причудливо!

Раз лобовая атака не работает, математики проявили изобретательность и придумали метод замены — версию гипотезы Гольдбаха для функции Лиувилля.

Чтобы смоделировать простые числа, математики ввели замечательный инструмент: функцию Лиувилля.

Эта функция обозначается , где обозначает общее количество простых множителей, содержащихся в числе.

Её правило похоже на переключатель, который различает только «чётное и нечётное»: если число содержит чётное количество простых множителей, то λ(n)=1.

Если количество простых множителей нечётное, то λ(n)=-1.

У всех простых чисел (например, 2, 3, 5, 7, 11) значение функции Лиувилля всегда равно -1! Однако обратное неверно: например, у 8 и 12 значение λ тоже равно -1.

В 2018 году на известном математическом форуме MathOverflow кто-то предложил ослабленную версию гипотезы Гольдбаха:

Всегда ли для каждого чётного числа N больше 2 можно найти два положительных целых числа a и b, таких что N=a+b и λ(a)=λ(b)=−1.

Если классическая гипотеза Гольдбаха верна, то значения функции Лиувилля для этих двух простых чисел обязательно равны -1, поэтому эта «гипотеза Лиувилля» также безусловно верна.

Но теперь математики ослабили условие: слагаемые не обязаны быть чистыми простыми числами, достаточно, чтобы количество их простых множителей было нечётным!

Прорыв из тени Римана: ИИ выдал потрясающие две страницы

Раз условие ослаблено, доказать должно быть легко? Но нет, это по-прежнему невероятно сложно!

Суть проблемы в том, что математики хотят понять, не гасят ли друг друга эти чередующиеся знаки при сложении, подобно подбрасыванию монеты, и тем самым выявить глубинный порядок, скрытый под сложением. Это связано с наведением моста между «мультипликативной структурой» и «аддитивными комбинациями» в математике.

Только в 2024 году математик Alexander P. Mangerel наконец добился прорыва. В одной статье он доказал: для всех достаточно больших чётных чисел эта гипотеза верна.

Ссылка: https://arxiv.org/abs/2404.12117

Но! Его доказательство имеет два ограничения.

1. «Достаточно большое»: это означает, что оно не охватывает сравнительно малые чётные числа.

2. «GRH»: его доказательство серьёзно опирается на обобщённую гипотезу Римана. То есть его вывод верен только при условии справедливости обобщённой гипотезы Римана.

А на этот раз Astra и команда Captain Sude напрямую преодолели оба этих ограничения!

Сначала Astra выдал PDF всего на двух страницах.

В этой лаконичной статье Astra объявил:

Без обобщённой гипотезы Римана можно безусловно доказать: все положительные целые числа, делящиеся на 4, можно представить в виде суммы двух положительных целых чисел со значением функции Лиувилля -1!

В PDF Astra умело использовал «безусловную оценку корреляции» из статьи Mangerel в сочетании с чрезвычайно изящным методом спуска.

Основная логика теоремы — доказательство от противного: предположим, существует нечётное число m (не делящееся на 3), и при масштабе 4m нет ни одной пары чисел с суммой 4m, у которых оба значения функции Лиувилля равны -1.

Далее Astra начинает шаг за шагом сужать возможности.

1. Поскольку умножение на 4 не меняет значение функции Лиувилля, само m тоже нельзя представить в виде суммы двух чисел, у которых значение функции Лиувилля равно -1.

2. Поскольку умножение на 2 меняет знак функции Лиувилля (добавляется один простой множитель 2), число 2m нельзя представить в виде суммы двух чисел, у которых значение функции Лиувилля равно +1.

3. Затем ИИ строит случай a+b=m с λ(a)=λ(b)=1, выбирает пару с минимальной разностью b−a и, используя их свойства делимости на 3, принудительно выводит противоречие!

Он обнаружил, что если предположить, что у 4m нет такого разложения, то путём чередования умножения и сложения в конечном итоге локально все числа будут вынуждены иметь один и тот же знак, что прямо противоречит ранее доказанной Mangerel границе.

Вот так, используя лишь элементарные алгебраические выкладки (которые поймёт даже старшеклассник), Astra обнаружил безусловно верный случай.

48 часов — и полное решение для всех чётных чисел

И это ещё не конец.

По словам автора проекта Captain Sude, после того как Astra в первый день доказал случай «кратных 4», на второй день он нашёл совершенно новый элементарный путь доказательства и сразу обобщил результат на все чётные числа больше 2!

На этот раз он представил следующее ключевое утверждение:

Здесь нет никакого ограничения «достаточно большое», нет конечного множества исключений, для всех чётных чисел утверждение верно безусловно!

А ход его доказательства вызывает восхищение.

Он не использовал грубый перебор и не стал улучшать прежние аналитические оценки, а сделал красивый «структурный переход».

Логическая цепочка ИИ такова.

Шаг первый: найти козла отпущения. ИИ сначала доказывает, что для каждого простого числа p больше 3 существуют положительные целые u и v, такие что 2p=u+v и их значения функции Лиувилля равны 1. А что если это не так? Это означает «отсутствие аддитивной знаковой структуры».

Шаг второй: заставить показать истинную природу. Продолжим функцию Лиувилля на конечное поле Fp и определим функцию G. Из-за предыдущего «отсутствия аддитивного разложения» эта функция G локально вынуждена иметь дефекты мультипликативной симметрии (Defects).

Шаг третий: идеальная коммутативность. Это самый блестящий момент доказательства! Поскольку умножить на -2, а затем на -3 — то же самое, что умножить на -3, а затем на -2. ИИ использует это свойство «коммутативности», чтобы два пути взаимно уничтожились, и в итоге все ненулевые дефекты исчезли!

Шаг четвёртый: глобальное заражение. С помощью леммы спуска локально верное правило умножения, подобно вирусу, распространяется на всё конечное поле, заставляя функцию G стать глобально строгим мультипликативным объектом.

Шаг пятый: смертельный удар (квадратичные вычеты создают противоречие). Раз G стала строгой мультипликативной функцией, то для квадрата любого числа значение G должно быть равно 1. Однако по квадратичному закону взаимности в конечном поле можно найти простое число ℓ, которое является «квадратом», но поскольку оно простое, его собственное значение функции Лиувилля должно быть равно -1.

Итак, 1 = -1. Противоречие!

На этом первоначальное предположение об «отсутствии разложения» полностью разбито. Гипотеза Лиувилля–Гольдбаха безусловно верна для всех чётных чисел!

Этот путь доказательства, превращающий аддитивные препятствия в мультипликативную жёсткость, просто элегантен и демонстрирует высочайший уровень абстрактного и интуитивного мышления.

Пройдена формальная верификация в Lean 4

На этот раз Astra также представил полную формальную верификацию в Lean 4.

Прохождение верификации в Lean 4 означает абсолютную логическую корректность.

Пользователь Zhihu @SUNNY99 немедленно провёл независимую проверку открытой версии v1.0.0 от Astra. Результат ошеломляет: доказательство Lean отлично перекомпилируется!

При этом финальная теорема полностью совпадает с утверждением статьи. В коде нет ни одного «sorry» (в Lean это незаполненные пробелы), нет самодельных математических аксиом, все зависимости от аксиом полностью корректны, а численные смоук-тесты для 249 чётных чисел все прошли.

Здесь у некоторых читателей может возникнуть вопрос: значит ли это, что гипотеза Гольдбаха полностью решена?

Строго говоря: ещё нет.

Сейчас решена ослабленная версия гипотезы Гольдбаха для функции Лиувилля.

От «составных чисел с нечётным числом простых множителей» до «чистых простых чисел» по-прежнему лежит пропасть. Классическая гипотеза Гольдбаха остаётся высоко висящим плодом.

Но это вовсе не означает, что нынешний прорыв не велик.

Во-первых, в чисто математическом смысле он возводит грандиозный мост между «мультипликативной структурой» и «аддитивными комбинациями» во всей теории чисел.

Возможно, это и есть ключ к будущему покорению исходной гипотезы Гольдбаха.

Во-вторых, в смысле ИИ это исторический момент сингулярности.

Долгое время мы считали, что ИИ силён в массовом запоминании и грубых вычислениях, например в игре го или расчёте сворачивания белков. Но на этот раз Astra продемонстрировал поразительную математическую интуицию и вкус.

Он, словно невероятно одарённый математик, написал доказательство, которое математики-люди называют элегантным.