للتو، حقق GPT-6 Astra إنجازًا كبيرًا في حدسية غولدباخ!
wallstreetcnاستغرق GPT-6 Astra يومين وصفحتين فقط لإنجاز عمل فذ حيّر البشرية لما يقرب من 300 عام، حيث أثبت دون شروط النسخة الضعيفة لليوفيل من حدسية غولدباخ، مغطيًا مجال الأعداد الزوجية بالكامل، وتم التحقق منه شكليًا عبر Lean 4 دون أي ثغرات. والأكثر إثارة للدهشة أنه لم يعتمد على القوة الحاسوبية الساحقة، بل على منطق أنيق أثار إعجاب حتى علماء الرياضيات البشر.
اختراق كبير في عالم الرياضيات!
مؤخرًا، حقق GPT-6 Astra تقدمًا جديدًا مرة أخرى في حدسية غولدباخ.
أعلن مستخدم الإنترنت Captain Sude أن Astra نجح في إثبات حدسية من نوع غولدباخ تتعلق بدالة ليوفيل!
بالتحديد، أثبت دون شروط الصيغة الضعيفة لليوفيل من حدسية غولدباخ.
والأكثر إثارة للدهشة، وعلى عكس ما تخيلنا، لم يعتمد Astra هذه المرة على القوة الحاسوبية الساحقة فحسب، بل قام باستدلال منطقي أنيق للغاية.
وقد اجتاز هذا الإثبات الآن التحقق الشكلي عبر Lean 4.
لؤلؤة لا تُنتزع
قبل ذلك، عذّب شبح حدسية غولدباخ علماء الرياضيات البشر لما يقرب من ثلاثة قرون.
في عام 1742، طرح غولدباخ هذه الحدسية في رسالة إلى أويلر: «أي عدد زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته كمجموع عددين أوليين.»
من أجلها، استنزف عدد لا يحصى من الناس جهودهم. من هاردي وليتلوود إلى تشن جينغرون الذي أثبت «1+2»، ظل البشر دائمًا عاجزين عن انتزاع لؤلؤة التاج: «1+1».
وذلك لأن توزيع الأعداد الأولية عجيب للغاية!
وبما أن الإصرار على الحل المباشر لم ينجح، أبدع علماء الرياضيات «أسلوب البديل»: نسخة ليوفيل من حدسية غولدباخ.
لمحاكاة الأعداد الأولية، أدخل علماء الرياضيات أداة عجيبة: دالة ليوفيل.
تُرمز هذه الدالة بـ ، حيث يمثل
العدد الإجمالي للعوامل الأولية التي يحتويها العدد.
قاعدتها تشبه مفتاحًا يتعرف فقط على «الزوجي والفردي»: إذا كان عدد العوامل الأولية التي يحتويها العدد زوجيًا، فإن λ(n)=1.
إذا كان عدد العوامل الأولية التي يحتويها العدد فرديًا، فإن λ(n)=-1.
جميع الأعداد الأولية الخالصة (مثل 2، 3، 5، 7، 11) تكون قيمة دالة ليوفيل لها بالتأكيد جميعها -1! لكن العكس غير صحيح، فمثلًا 8 و12 قيمة λ لهما أيضًا -1.
في عام 2018، على منتدى الرياضيات الشهير MathOverflow، طرح أحدهم نسخة ضعيفة من حدسية غولدباخ:
لكل عدد زوجي N أكبر من 2، هل يمكن دائمًا إيجاد عددين صحيحين موجبين a وb بحيث N=a+b و λ(a)=λ(b)=−1.
إذا كانت حدسية غولدباخ الكلاسيكية صحيحة، فإن قيمة ليوفيل لهذين العددين الأوليين تكونان بالضرورة -1، لذا فإن «حدسية ليوفيل» هذه صحيحة أيضًا بالتأكيد.
لكن الآن، خفف علماء الرياضيات الشروط: لا يجب أن يكون المضافان عددين أوليين خالصين، يكفي أن يكون عدد عوامله الأولية فرديًا!
اختراق تحت ظل ريمان: الذكاء الاصطناعي يعطي صفحتين مذهلتين
بما أن الشروط خُففت، فمن المفترض أن يكون الإثبات سهلًا؟ لكنه ما زال صعبًا بشكل مثير للغضب!
جوهر المشكلة هو أن علماء الرياضيات يريدون دراسة ما إذا كانت هذه الإشارات المتناوبة بين الموجب والسالب تلغي بعضها البعض مثل رمي العملة عند جمعها، مما يكشف عن نظام عميق مخفي تحت عملية الجمع. هذا يتعلق ببناء جسر بين «لبنات الضرب» و«تركيبات الجمع» في الرياضيات.
حتى عام 2024، حقق عالم الرياضيات ألكسندر ب. مانغريل أخيرًا اختراقًا. في ورقة بحثية، أثبت أن هذه الحدسية صحيحة لجميع الأعداد الزوجية الكبيرة بما فيه الكفاية.
الرابط: https://arxiv.org/abs/2404.12117
لكن! إثباته يحمل قيدين.
1. «كبير بما فيه الكفاية»: يعني أنه لا يشمل الأعداد الزوجية الأصغر.
2. «GRH»: يعتمد إثباته بشكل كبير على فرضية ريمان المعممة. أي أن استنتاجه صحيح فقط بشرط صحة فرضية ريمان المعممة.
وهذه المرة، كسر Astra وفريق Captain Sude هذين الأغلال مباشرة!
في البداية، ألقى Astra ملف PDF من صفحتين فقط.
في هذه الورقة المختصرة، أعلن Astra:
بدون الحاجة إلى فرضية ريمان المعممة، يمكن الإثبات دون شروط: جميع الأعداد الصحيحة الموجبة القابلة للقسمة على 4 يمكن تمثيلها كمجموع عددين صحيحين موجبين قيمة ليوفيل لهما -1!
في ملف PDF، استخدم Astra بذكاء «حد ارتباط غير مشروط» من ورقة مانغريل، مع طريقة نزول دقيقة للغاية.
المنطق الأساسي للنظرية هو البرهان بالخلف: افترض وجود عدد فردي m (لا يقبل القسمة على 3)، وفي نطاق 4m، لا يوجد أي زوج من الأرقام مجموعهما 4m وقيمة ليوفيل لهما كلاهما -1.
بعد ذلك، بدأ Astra في الضغط خطوة بخطوة.
1. لأن الضرب في 4 لا يغير قيمة ليوفيل، فإن m نفسه لا يمكن تفكيكه إلى عددين بإشارة سالبة.
2. لأن الضرب في 2 يقلب قيمة ليوفيل (يضيف عاملًا أوليًا 2)، فإن 2m لا يمكن تفكيكه إلى عددين بإشارة موجبة.
3. بعد ذلك، قام الذكاء الاصطناعي ببناء حالة a+b=m مع λ(a)=λ(b)=1، واختيار الزوج ذي الفرق الأصغر b−a، واستخدام علاقتهما بالقسمة على 3، واستنتج تناقضًا بالقوة!
اكتشف أنه إذا افترضت أن 4m لا يحتوي على مثل هذا التقسيم، فمن خلال التقريب المتناوب بين الضرب والجمع، سيُجبر في النهاية محليًا جميع الأرقام على حمل إشارات متعاكسة، مما يتعارض مباشرة مع الحد الذي أثبته مانغريل سابقًا.
وهكذا، وباستخدام اشتقاق جبري أولي فقط (حتى طلاب الثانوية يمكنهم فهم خطوات الاشتقاق)، اكتشف Astra الحالة الصحيحة دون شروط.
48 ساعة لوضع حد نهائي لمجال الأعداد الزوجية
ولم ينته الأمر بعد.
وفقًا لمؤلف المشروع Captain Sude، بعد أن أثبت Astra حالة «مضاعفات 4» في اليوم الأول، وجد في اليوم الثاني طريق إثبات أولي جديد تمامًا، وعمم النتيجة مباشرة على جميع الأعداد الزوجية الأكبر من 2!
هذه المرة، قدم هذا الادعاء الأساسي:
لا يوجد أي قيد «كبير بما فيه الكفاية»، ولا مجموعة استثناءات محدودة، جميع الأعداد الزوجية، صحيحة دون شروط!
وطريقة إثباته مذهلة حقًا.
لم يستخدم التعداد العنيف، ولم يعتمد على ضغط التقديرات التحليلية السابقة، بل قام بـ«تحويل هيكلي» رائع.
سلسلة منطق الذكاء الاصطناعي كالتالي.
الخطوة الأولى: البحث عن نقطة انطلاق. أثبت الذكاء الاصطناعي أولًا أنه لكل عدد أولي p أكبر من 3، توجد أعداد صحيحة موجبة u وv بحيث 2p=u+v وقيمة ليوفيل لهما كلاهما 1. ماذا لو لم يتحقق ذلك؟ هذا يشكل «غياب نمط الإشارة الجمعي».
الخطوة الثانية: إجباره على كشف حقيقته. مدد دالة ليوفيل إلى الحقل المحدود Fp، وعرّف دالة G. بسبب «عدم وجود التحليل الجمعي» السابق، أُجبرت هذه الدالة G محليًا على إظهار عيوب في التناظر الضربي.
الخطوة الثالثة: التبادلية المثالية. هذه هي اللمسة الأكثر إبهارًا في الإثبات! لأن الضرب في -2 ثم في -3 هو نفس الضرب في -3 ثم في -2. استخدم الذكاء الاصطناعي خاصية «التبادل» هذه لجعل المسارين يلغي أحدهما الآخر، وفي النهاية قضى على جميع العيوب غير الصفرية!
الخطوة الرابعة: الانتشار الشامل. باستخدام ليما النزول، نشر قاعدة الضرب الصحيحة محليًا مثل الفيروس إلى كامل الحقل المحدود، مما أجبر الدالة G على أن تصبح كائنًا ضربيًا صارمًا على المستوى الشامل.
الخطوة الخامسة: الضربة القاضية (تناقض الباقي التربيعي). بما أن G أصبحت دالة ضربية صارمة، فإن مربع أي عدد يجب أن تكون قيمة G له 1. ومع ذلك، وفقًا لقانون التبادل التربيعي، يمكن إيجاد عدد أولي ℓ في الحقل المحدود يكون «مربعًا»، لكن لأنه عدد أولي، فإن قيمة ليوفيل له يجب أن تكون -1.
وهكذا، 1 = -1. انفجر التناقض!
عند هذه النقطة، تحطم افتراض «عدم وجود التحليل» تمامًا. حدسية ليوفيل-غولدباخ صحيحة دون شروط في جميع الأعداد الزوجية!
هذا الطريق البرهاني الذي يحول عائق الجمع إلى صلابة ضربية في غاية الأناقة، ويعكس تفكيرًا رفيع المستوى من التجريد والحدس.
تم التحقق شكليًا عبر Lean 4
هذه المرة، قدم Astra أيضًا في نفس الوقت التحقق الشكلي الكامل عبر Lean 4.
التحقق عبر Lean 4 يعني الصحة المنطقية المطلقة.
قام صانع المحتوى @SUNNY99 على منصة Zhihu فورًا بمراجعة مستقلة للنسخة مفتوحة المصدر v1.0.0 من Astra. وكانت النتيجة صادمة: يمكن إعادة تجميع إثبات Lean بشكل مثالي!
النظرية النهائية مطابقة تمامًا لادعاء الورقة. لا يوجد أي «sorry» في الكود (والتي تمثل في Lean فجوات غير مملوءة)، ولا بديهيات رياضية مخصصة عشوائية، وجميع اعتمادات البديهيات طبيعية تمامًا، واجتازت الاختبارات الأولية العددية لـ249 عددًا زوجيًا جميعها.
عند هذه النقطة، قد يسأل بعض الأصدقاء: هل يعني هذا أن حدسية غولدباخ قد حُلّت تمامًا؟
يجب أن نكون دقيقين: ليس بعد.
ما تم حله حاليًا هو النسخة الضعيفة لليوفيل من حدسية غولدباخ.
من «الأعداد المركبة ذات عدد فردي من العوامل الأولية» إلى «الأعداد الأولية الخالصة»، ما زالت هناك هوة سحيقة. حدسية غولدباخ الكلاسيكية ما زالت الثمرة المعلقة عاليًا.
لكن هذا لا يعني أن هذا الاختراق ليس عظيمًا.
أولًا، من الناحية الرياضية البحتة، بنى جسرًا هائلًا يربط بين «لبنات الضرب» و«تركيبات الجمع» في نظرية الأعداد بأكملها.
قد يكون هذا هو المفتاح الأساسي لحل حدسية غولدباخ الأصلية في المستقبل.
ثانيًا، من ناحية الذكاء الاصطناعي، هذه لحظة تفرد تاريخية.
لطالما اعتقدنا أن الذكاء الاصطناعي يتفوق في الحفظ الهائل والحساب بالقوة الغاشمة، مثل لعب الغو وحساب طي البروتين. لكن هذه المرة، أظهر Astra حدسًا وذوقًا رياضيًا مذهلين.
لقد تصرف مثل عالم رياضيات موهوب للغاية، وكتب إثباتًا وصفه علماء الرياضيات البشر بالأنيق.
هذا المحتوى لأغراض معلوماتية وتعليمية فقط، ولا يمثل نصيحة استثمارية تتعلق بـ BTCC. تبذل BTCC قصارى جهدها ولكنها لا تضمن صحة أو دقة أو أصالة المحتوى المذكور أعلاه.